点P在椭圆7x^2+4y^2=28上，则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值是____？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/26 05:23:43
7*x^2+4*y^2=28 ，即
x^2/4+y^2/7=1
所以设P点坐标为（2cosa，√7sina），则
P到直线的距离d=|6cosa-2√7sina-16|/√(3^2+2^2)
=|8sin(a+b)-16|/√13≤24√13/13 (其中tgb=-3√7/7)
有人用这种方法，据说是什么参数方程，可我们还没学
用基础的方法怎么解呢？谢谢了！

解：设于3x-2y-16=0平行的直线为3x-2y+k=0
则只要我们找到椭圆和直线只有一个交点的k值就可以了。

y=(3x+k)/2 代入椭圆，7x^2+(3x+k)^2=28
==>16x^2+6kx+k^2-28=0
判别式=36k^2-64(k^2-28)=0
==>28k^2=64*28
==>k^2=64
==>k=8或-8
因为求点P到直线3x-2y-16=0有最大距离
所以k=8
求出3x-2y+8=0和3x-2y-16=0的距离即可
最大值 =24/√13

设与直线3x-2y-16=0平行的某条较远离该直线的一条直线恰好与椭圆相切
，它的方程为3x-2y+c=0，那么最大距离就是两直线间的距离
联立
3x-2y+c=0
7x^2+4y^2=28
消去x,整理得
64y^2-28cy+(7c^2-252)=0
令△=0得
c=8或c=-8
c越大越上移，两直线间的距离越大，
两平行直线间距离是[8-(-16)]/√(9+4)=24/√13=24√13/13
故最大距离是24√13/13
希望对你有帮助！